知识点总结
标准正态分布是一种特殊的正态分布，具有以下特征：
概率密度函数：
f(z) = (1/√(2π)) * e^(-z²/2)
标准正态分布通常记为 Z ~ N(0, 1²)，其中Z是随机变量。
对于任意正态分布X ~ N(μ, σ²)，我们可以通过标准化将其转换为标准正态分布Z ~ N(0, 1²)。标准化的目的是将不同均值和标准差的正态分布转换为统一的标准形式，便于概率计算。
标准化公式：
Z = (X - μ) / σ
其中：
使用标准正态分布计算概率时，可以使用以下方法：
标准正态分布表通常给出的是累积概率P(Z ≤ z)的值。
注意事项：
1. 标准正态分布是对称的，关于z=0对称
2. P(Z ≤ -z) = 1 - P(Z ≤ z)
3. P(a < Z < b) = P(Z ≤ b) - P(Z ≤ a)
| 英文术语 | 中文翻译 | 解释说明 |
|---|---|---|
| Standard Normal Distribution | 标准正态分布 | 均值为0，标准差为1的正态分布，记为Z ~ N(0, 1²) |
| Normalization | 标准化 | 将一般正态分布转换为标准正态分布的过程 |
| Z-score | Z分数 | 标准化后的值，表示原始值相对于均值的位置 |
| Cumulative Distribution Function (CDF) | 累积分布函数 | 给出P(Z ≤ z)的函数，通常记为Φ(z) |
| Probability Density Function (PDF) | 概率密度函数 | 描述连续随机变量在某个取值点附近概率的函数 |
| Z-table | Z表 | 标准正态分布的累积概率表 |
| Inverse Normal Function | 逆正态函数 | 已知概率求对应的Z值的函数 |
1. 标准正态分布的表示：
Z ~ N(0, 1²)
2. 标准化公式：
Z = (X - μ) / σ
其中 X ~ N(μ, σ²)
3. 标准正态分布的概率密度函数：
f(z) = (1/√(2π)) * e^(-z²/2)
4. 累积概率计算：
P(Z ≤ z) = Φ(z)
P(Z ≥ z) = 1 - Φ(z)
P(a < Z < b) = Φ(b) - Φ(a)
5. 标准化后的概率转换：
P(X ≤ x) = P(Z ≤ (x - μ)/σ) = Φ((x - μ)/σ)
标准化是解决正态分布问题的关键步骤，它将不同参数的正态分布转换为统一的标准形式，使得我们可以使用通用的方法和工具（如标准正态分布表）进行概率计算。
Z分数表示原始数据值距离均值有多少个标准差。Z分数的正负表示数据值在均值的左侧还是右侧，Z分数的绝对值表示距离均值的远近程度。
利用标准正态分布的对称性可以简化概率计算：
解决正态分布问题的一般步骤：